ある日，ふと思った…

「grad とか rot とか div とかって線形作用素やんか．固有関数ってなんなんや？」

google 検索ﾎﾟﾁｰ

なにもでてこない！！

ということで私が書きます．

微分作用素の線形性の確認

固有関数を求める前に，各微分作用素の線形性を確認しておきます．

\[\begin{align} \mathrm{grad} \,f(\boldsymbol{x}) &= \sum_{i=1}^3\boldsymbol{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}f(\boldsymbol{x}) \end{align}\]

であるので，

\[\begin{align} \mathrm{grad} \,(af(\boldsymbol{x})+bg(\boldsymbol{x})) &= \sum_{i=1}^3\boldsymbol{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}(af(\boldsymbol{x})+bg(\boldsymbol{x})) \\ &= a\sum_{i=1}^3\boldsymbol{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}f(\boldsymbol{x}) + b\sum_{i=1}^3\boldsymbol{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}g(\boldsymbol{x}) \\ &= a\,\mathrm{grad}\,f(\boldsymbol{x}) + b\,\mathrm{grad}\,g(\boldsymbol{x}). \end{align}\]

以上から， \( \mathrm{grad} \) は線形です． つづいて\( \mathrm{rot} \)は，

\[\begin{align} \mathrm{rot} \, \boldsymbol{v} &= \left( \frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right)\boldsymbol{e}_1 + \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1} \right)\boldsymbol{e}_2 + \left( \frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right)\boldsymbol{e}_3 \end{align}\]

であるので，

\[\begin{align} \mathrm{rot} \, (a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{u}) &= \left( \frac{\partial}{\partial x_2}(av_3+bu_3) - \frac{\partial}{\partial x_3}(av_3+bu_3) \right)\boldsymbol{e}_1 + \left( \frac{\partial}{\partial x_3}(av_1+bu_1) - \frac{\partial}{\partial x_1}(av_1+bu_1) \right)\boldsymbol{e}_2 + \left( \frac{\partial}{\partial x_1}(av_2+bu_2) - \frac{\partial}{\partial x_2}(av_2+bu_2) \right)\boldsymbol{e}_3 \\ &= a\left\{ \left( \frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right)\boldsymbol{e}_1 + \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1} \right)\boldsymbol{e}_2 + \left( \frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right)\boldsymbol{e}_3 \right\} \\ & \quad + b\left\{ \left( \frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right)\boldsymbol{e}_1 + \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1} \right)\boldsymbol{e}_2 + \left( \frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right)\boldsymbol{e}_3 \right\} \\ &= a\ \mathrm{rot}\,\boldsymbol{v} + b\ \mathrm{rot}\,\boldsymbol{u} \end{align}\]

以上から， \( \mathrm{rot} \) の線形性も示せました．最後に \( \mathrm{div} \) です．

\[\begin{align} \mathrm{div} \ f(\boldsymbol{x}) &= \sum_{i=1}^3\frac{\partial}{\partial x_i}f(\boldsymbol{x}) \end{align}\]

であるので，

\[\begin{align} \mathrm{div} \ (af(\boldsymbol{x})+bg(\boldsymbol{x})) &= \sum_{i=1}^3\frac{\partial}{\partial x_i}(af(\boldsymbol{x})+bg(\boldsymbol{x})) \\ &= a \sum_{i=1}^3\frac{\partial}{\partial x_i}f(\boldsymbol{x}) + b \sum_{i=1}^3\frac{\partial}{\partial x_i}g(\boldsymbol{x}) \\ &= a\ \mathrm{div} \ f(\boldsymbol{x}) + b\ \mathrm{div} \ g(\boldsymbol{x}). \end{align}\]

以上により，\(\ \mathrm{grad},\ \mathrm{rot},\ \mathrm{div} \) はすべて線形作用素であることがわかりました．

固有関数の定義

線形作用素 \( L \) に対し，次式を満たす \( x \)が固有関数です．

\[\begin{align} L[x] = \lambda x \end{align}\]

行列の固有値問題では \( \lambda \) はスカラーですが，ここでは固有関数の議論をしているので \( \lambda \) がスカラーかどうかを問わないことにします．

各作用素の固有関数

\( \mathrm{grad} \) を \( \mathrm{e}^{\lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z} \) に作用させてみます．

\[\begin{align} \mathrm{grad} \ \mathrm{e}^{\lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z} &= \begin{bmatrix} \lambda_x \\ \lambda_y \\ \lambda_z \end{bmatrix} \mathrm{e}^{\lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z} \end{align}\]

どうでしょう… 固有関数としてありといえばありな気もします．

\( \mathrm{rot} \) を \( [1 \ 1 \ 1]^\top (\mathrm{e}^{\lambda_x x}+\mathrm{e}^{\lambda_y y}+\mathrm{e}^{\lambda_z z}) \) に作用させてみます．

\[\begin{align} \mathrm{rot} \ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} (\mathrm{e}^{\lambda_x x}+\mathrm{e}^{\lambda_y y}+\mathrm{e}^{\lambda_z z}) &= \begin{bmatrix} \lambda_z - \lambda_y & & \\ & \lambda_x - \lambda_z & \\ & & \lambda_y - \lambda_x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} (\mathrm{e}^{\lambda_x x}+\mathrm{e}^{\lambda_y y}+\mathrm{e}^{\lambda_z z}) \end{align}\]

なるほど．まあよしとしましょう．

最後に\( \mathrm{div} \) も \( \mathrm{e}^{\lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z} \) に作用させてみます．

\[\begin{align} \mathrm{div} \ \mathrm{e}^{\lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z} &= (\lambda_x + \lambda_y + \lambda_z) \mathrm{e}^{\lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z} \end{align}\]

これは完全に固有関数です！

以上で各微分作用素の固有関数を求めてみる試みは終わりです． 線形作用素が行列の場合には，固有ベクトルの有限和で展開することができましたが，多くの場合，関数を固有関数で展開するのは無限和を使う必要があります． しかし，固有関数で展開できると仮定してみるのは悪手とは言えません．みなさんご存知のフーリエ変換がそれに該当します．